一、输入输出稳定性与增益约束 🤖

输入输出系统被建模为一个算子 $ G $，将输入信号 $u : {\mathbb R} \mapsto {\mathbb R}^m$ 映射为输出信号 $ y : {\mathbb R} \mapsto {\mathbb R}^p $，即 $ y = G(u)$。

输入输出信号被认为属于 $ {\mathcal L}_q[0, \infty) $ 空间，该空间由满足：

$$ |f|_q := \left( \int_0^{\infty} |f(t)|^q {\rm {d}}t \right)^{1/q} < \infty $$

的测度函数构成。这一约束使我们关注信号整体能量而非瞬时行为。

输入输出映射的最基本要求是因果性（causality）：系统在时间 $ t $ 时刻的输出 $y(t) $ 不能依赖于未来的输入 $ u(s) \ (s > t) $。数学上，映射 $ G : {\mathcal L}_q \to {\mathcal L}_p $ 是因果的，当且仅当对任意 $ u,v \in {\mathcal L}_q $ 和任意 $ T > 0 $，若

$$ u(t) = v(t) \quad \forall t \in [0, T] , $$

则有

$$ (G(u))(t) = (G(v))(t), \quad \forall t \in [0, T]. $$

这保证了系统对未来信息的不可预测性，是物理实现的基本要求。

在此基础上，若存在常数 $ \gamma > 0 $，使得：

$$ |G(u)|_q \leq \gamma |u|_q, $$

则系统被称为具有有限 $ {\mathcal L}_q $-增益，该增益 $ \gamma $ 被称为系统的 ${\mathcal L}_q $-增益。更进一步，若系统对任意有界输入 $ u \in {\mathcal L}_q $ 输出 $ y \in {\mathcal L}_q $，则称为 “$ {\mathcal L}_q $-stable"。

二、小增益定理与闭环稳定性 💥

当两个系统 $ G_1, G_2 $ 以负反馈互联构成闭环系统时，其输入输出关系将变得复杂。系统互联后，扰动信号可能在环路中反复传播、放大或衰减，因此需要严密的准则判断系统整体的稳定性。若我们将系统互联结构建模为：

$$ \begin{cases} y_1 = G_1(u_1), \quad u_1 = e_1 - y_2, \\ y_2 = G_2(u_2), \quad u_2 = e_2 + y_1, \end{cases} $$

则可以通过替换得到：

$$ u = e - FG(u), \quad y = G(u), \quad F = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{bmatrix}. $$

此时系统整体的闭环行为由非线性代数方程 $ u = (I + FG)^{-1} e $ 决定。映射 $ (e_1, e_2) \mapsto (y_1, y_2) $ 是否定义良好（即闭环是否存在且唯一），并具有 $ {\mathcal L}_q $-稳定性，成为关键问题。

小增益定理 给出了这个问题的充分条件之一：

若两个因果系统 $ G_1, G_2 $ 分别具有有限 $ {\mathcal L}_q $-增益 $ \gamma_1, \gamma_2 $，且满足：

$$ \gamma_1 \cdot \gamma_2 < 1, $$

则闭环系统整体是 $ {\mathcal L}_q $-稳定的，且映射 $ e \mapsto y $ 是连续、唯一的。

这一定理以代数乘积揭示了稳定性的本质：在能量意义下，只要反馈回路的总“放大能力”小于1，就能保证系统“收敛”而不是发散。对于线性系统，这一结果直接对应于频域的 $ H_\infty $ 范数约束；而对于非线性系统，小增益定理提供了从局部 Lipschitz 性或数值界估计出发的通用判据。

三、无源性系统与能量守恒结构 🦾

相较于小增益定理的代数判据，无源性理论（passivity）从物理角度出发，刻画系统在能量传递上的性质。

一个系统是无源的，意味着它无法生成能量：系统输出给环境的能量不超过它从环境获取的能量。

形式上，若对系统 $ G $ 存在常数 $ \beta \in \mathbb{R} $，对任意 $ u \in {\mathcal L}_2 $ 和任意时间 $ T > 0 $，有：

$$ \int_0^T \langle (G(u))(t), u(t) \rangle {\rm {d}}t \geq \beta, $$

则称 $G $ 为无源系统。进一步地，若存在 $ \varepsilon > 0 $ 使得：

$$ \int_0^T \langle (G(u))(t), u(t) \rangle {\rm {d}}t \geq \varepsilon |G(u)|_{{\mathcal L}_2[0,T]}^2 + \beta, $$

则称 $ G $ 为严格输出无源系统。

无源系统的结构性质具有深远影响。首先，它天然满足因果性；其次，两个无源系统的互联系统仍然无源，从而自动继承稳定性和有限增益性质。

更重要的是，严格输出无源系统必定具有有限 $ {\mathcal L}_2 $-gain，其增益满足：

$$ \|G(u)\|_{{\mathcal L}_2} \leq \frac{1}{\sqrt\varepsilon} \|u\|_{{\mathcal L}_2} , $$

因此，无源性不仅是系统的物理属性，也是一种增益约束条件，为稳定性与性能分析提供了结构化的数学工具。

四、耗散系统 🤺

为了将输入输出的增益性和状态空间的 Lyapunov 稳定性统一，提出了耗散系统的框架。

系统 $ \dot{x} = f(x, u), \ y = h(x, u) $ 被称为关于供能率 $ s(u, y) $ 的耗散系统，若存在函数 $ S(x) \geq 0 $，称为存储函数，使得对任意时间区间 $[t_0, t_1]$：

$$ S(x(t_1)) - S(x(t_0)) \le \int_{t_0}^{t_1} s(u(t), y(t)) {\rm {d}}t. $$

这一不等式意味着系统“吸收”的供能 $ s(u, y) $ 不会转化为比 $ S $ 所表示的内部能量更多的输出，换言之，系统具有某种“能量耗散”特性。

根据所选供能率 $ s(u,y) $ 的不同，可以刻画出不同的系统属性，如下分析。

🌐 4-1 供能率的选择与系统性能

耗散系统理论的核心，是通过定义一个输入输出对 $ (u, y) $ 上的供能率函数 $ s(u, y) $，来描述系统的能量如何从输入传递到输出，以及是否会在系统内部以某种形式“被”存储或“耗散”。这一函数并非任意，而是根据我们对系统特性的不同关注点选出。典型的供能率如下：

🌍 1. $ s(u, y) = u^\top y $

此时，系统是无源的（Passive）。这是最自然的选择，反映系统从外界吸收的瞬时功率。此时，耗散不等式变为：

$$ S(x(t_1)) - S(x(t_0)) \leq \int_{t_0}^{t_1} u^\top(t) y(t) {\rm {d}}t, $$

表示系统内部存储的能量增量不超过输入与输出之间的能量传递。其背后逻辑是：如果一个系统不会凭空生成能量，那它从输入吸收的功必须转化为内部能量或者输出能量。

在输入输出映射的形式下，该条件等价于：

$$ \int_0^T u^\top(t) G(u)(t) {\rm {d}}t \geq \beta, $$

即映射 $ G $ 为无源系统。

🌍 2. $ s(u, y) = u^\top y - \varepsilon |y|^2 $

此时，系统是严格输出无源的（Strict Output Passive）。在实际物理系统中，能量不仅被储存，还可能由于摩擦、电阻等原因被耗散。此时系统对输出信号的能量具有“惩罚项”，形式化为：

$$ \int u^\top y , {\rm {d}}t \geq \varepsilon \int |y|^2 {\rm {d}}t + \beta. $$

这说明系统输出越大，能量耗散越多。等价于：

$$ \int_0^T u^\top(t) y(t) {\rm {d}}t - \varepsilon \int_0^T |y(t)|^2 {\rm {d}}t \geq \beta. $$

在无状态模型中，它等价于映射 $ G $ 满足：

$$ |G(u)|_{{\mathcal L}_2}^2 \leq \frac{1}{\varepsilon} \int u^\top G(u) , {\rm {d}}t. $$

因此，该供能率刻画的是输出能量耗散对输入功率的约束，其物理意义在于系统能从输出“泄露能量”。

🌍 3. $ s(u, y) = \frac{1}{2} \gamma^2 |u|^2 - \frac{1}{2} |y|^2 $

此时，系统具有有限 $ {\mathcal L}_2 $-增益，不超过 $ \gamma $。该形式直接对应于系统从输入信号到输出信号的增益控制。若存在存储函数 $ S(x) $ 使得：

$$ S(x(t_1)) - S(x(t_0)) \leq \int_{t_0}^{t_1} \left( \frac{1}{2} \gamma^2 |u(t)|^2 - |y(t)|^2 \right) {\rm {d}}t, $$

则可推出：

$$ \|y\|_{{\mathcal L}_2}^2 \leq \gamma^2 \|u\|_{{\mathcal L}_2}^2 + 2 S(x_0), $$
这说明系统的输出能量不会超过输入能量的 $ \gamma^2 $ 倍，加上初始能量的一个常数项。若 $ S(x) = 0 $，这就成了标准的 $ {\mathcal L}_2 $-增益界定。

🌍 4. $ s(u, y) = -|y|^2 $

此时，系统输出能量呈现衰减趋势。这是一个强约束：系统的能量不但不能增加，甚至其输出总能量必须“亏损”。从不等式：

$$ S(x(t_1)) - S(x(t_0)) \leq - \int_{t_0}^{t_1} |y(t)|^2 {\rm {d}}t, $$

可知只要输出有能量，存储函数必然下降。这是某些无源耗散系统（如阻尼结构）的典型模型，表明系统必须将输出转化为内部的损耗耗散，直至最终达到稳定。

🌍 5. $ s(u, y) = |y|^2 - \gamma^2 |u|^2 $

此时，系统放大能力有限，适用于构造 $ H_\infty $ 控制目标。这是一种对偶形式，更倾向于用于性能评估。若系统关于该 $ s(u, y) $ 是耗散的，则必然满足：

$$ \int |y|^2 {\rm {d}}t \leq \gamma^2 \int |u|^2 {\rm {d}}t + S(x_0), $$

进而推出增益约束：

$$ \|y\|_{{\mathcal L}_2} \leq \gamma \|u\|_{{\mathcal L}_2}. $$
它是最直接的 $ H_\infty $ 范数定义形式，用作控制设计中的目标函数。该供能率的优势在于它对输出信号进行直接约束，适用于性能评估（如抗扰动、最坏场景最小化等场景）。

🌐 4-2 available storage

定义：

$$ S_a(x) := \sup_{u \in {\mathcal L}_2} \left\{ - \int_0^\infty s(u(t), y(t)) {\rm {d}}t \right\}, \quad x(0) = x. $$
该函数描述从当前状态 $ x $ 出发，系统在所有可行输入作用下，**所能向外界“释放”的最大能量**。其物理含义与热力学中的“可用能”相同，表明状态 $ x $ 所蕴含的“控制势能”极限。

从控制意义看：

  • 若 $ S_a(x) = 0 $，说明此状态下系统无法向外界输出能量，是耗尽状态；
  • 若 $ S_a(x) > 0 $，说明存在输入使系统输出净能量，状态具有能量转换能力。

数学上，available storage 还有如下性质：

  • 它是所有存储函数的下界，即：若 $ S(x) $ 是任意使系统耗散的函数，则：

$$ S_a(x) \leq S(x), \quad \forall x. $$

  • 它自身就是一个存储函数；
  • 在 passivity 条件下，$ s(u, y) = u^\top y $，可得：

$$ \int_0^T u^\top y , {\rm {d}}t \geq -S_a(x(0)). $$

这为系统耗散性提供了最小能量约束，有助于进行能量一致性判断与系统设计下界估计。

五、$ H_\infty $ 控制问题 🔍

考虑非线性系统：

$$ \dot{x} = f(x) + g(x) u + k(x) d, $$

其中：$x \in \mathbb{R}^n$：系统状态；$u \in \mathbb{R}^{n_u}$：控制输入；$d \in \mathbb{R}^{n_d}$：外部扰动；$f(x), g(x), k(x)$ 为局部 Lipschitz 连续函数。

系统的性能输出定义为：

$$ z(x, u) = Q(x) + u^\top R u, $$

其中 $Q(x) \geq 0$ 是正定函数，$R \succ 0$ 是控制输入的权重矩阵。性能目标为：对于任意扰动 $d \in \mathcal{L}_2$，闭环系统满足：

$$ \int_0^\infty \left( Q(x(t)) + u^\top(t) R u(t) \right) {\rm {d}}t \leq \gamma^2 |d|^2_{\mathcal{L}_2}. $$

这是一种标准的非线性 $H_\infty$ 控制形式，目标是以最小控制代价抑制最强扰动。

💡 5-1. 耗散系统 $H_\infty$ 性能指标

构造供能率函数：

$$ s(d, x, u) := Q(x) + u^\top R u - \gamma^2 |d|^2, $$

若存在光滑非负函数 $V(x)$ 使得系统沿解轨迹满足：

$$ \dot{V}(x) \leq - s(d, x, u) , $$

则沿系统轨迹有

$$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}V\left( {x\left( t \right)} \right) \le - Q\left( x \right) - {u^\top}Ru + {\gamma ^2}{\left| d \right|^2} $$

则通过积分可得：

$$ V(x(0)) \geq \int_0^\infty \left( Q(x(t)) + u^\top(t) R u(t) \right) {\rm {d}}t - \gamma^2 |d|^2_{\mathcal{L}_2}, $$

即系统满足期望的 $H_\infty$ 性能指标。

💡 5-2. HJI 推导

考虑沿系统轨迹对 $V(x)$ 求导：

$$ \dot{V}(x) = \nabla V(x)^\top \left( f(x) + g(x) u + k(x) d \right). $$

代入上述不等式，有：

$$ \nabla V^\top f(x) + \nabla V^\top g(x) u + \nabla V^\top k(x) d \leq - Q(x) - u^\top R u + \gamma^2 |d|^2. $$

整理后构造 Hamiltonian：

$$ H(x, \nabla V, u, d) := \nabla V^\top f(x) + Q(x) + \nabla V^\top g(x) u + u^\top R u + \nabla V^\top k(x) d - \gamma^2 |d|^2. $$

要求：

$$ \inf_{u} \sup_{d} H(x, \nabla V, u, d) \leq 0, $$

即系统在最坏扰动下依然满足性能限制。

💡 5-3. 扰动与控制的最优化

  • (1) 对扰动 $d$ 的极大化（扰动 $d$ 试图最大化供能）：

求：

$$ \sup_d \left\{ \nabla V^\top k(x) d - \gamma^2 \|d\|^2 \right\} $$

最优扰动为：

$$ d^* = \frac{1}{2\gamma^2} k(x)^\top \nabla V(x) $$

对应最大值为：

$$ \frac{1}{4\gamma^2} | \nabla V^\top k(x) |^2. $$

  • (2) 对控制输入 $u$ 的极小化（控制 $u$ 试图最小化供能）：

求：

$$ \inf _u \left\{ \nabla V^\top g(x) u + u^\top R u \right\} $$

最优控制为：

$$ u^* = - \frac{1}{2} R^{-1} g(x)^\top \nabla V(x) $$

对应最小值为：

$$ -\frac{1}{4} \nabla V^\top g(x) R^{-1} g(x)^\top \nabla V. $$

最优控制为：

$$ u^* = - \frac{1}{2} R^{-1} g(x)^\top \nabla V(x) $$

对应最小值为：

$$ -\frac{1}{4} \nabla V^\top g(x) R^{-1} g(x)^\top \nabla V. $$

💡 5-4. HJI 不等式最终形式

将控制项与扰动项代入 Hamiltonian，得到最终形式的 HJI 不等式：

$$ \nabla V^\top f(x) + Q(x) - \frac{1}{4} \nabla V^\top g(x) R^{-1} g(x)^\top \nabla V + \frac{1}{4\gamma^2} |\nabla V^\top k(x)|^2 \leq 0. $$

若存在正定光滑函数 $V(x)$ 满足上述不等式，则控制器：

$$ u(x) = -\frac{1}{2} R^{-1} g(x)^\top \nabla V(x) $$

确保系统满足性能约束：

$$ \int_0^\infty \left( Q(x(t)) + u^\top(t) R u(t) \right) dt \leq \gamma^2 |d|^2_{\mathcal{L}_2}. $$